Implikasi Dan Biimplikasi

Implikasi (kondisional)

Untuk memahami implikasi, pelajarilah uraian berikut. Misalnya, Elzan berjanji pada Gusrayani, “Jika Sore nanti tidak hujan, maka saya akan mengajakmu nonton”. Janji Elzan ini hanyalah berlaku untuk kondisi sore nanti tidak hujan. Akibatnya, jika sore nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Elzan untuk mengajak Gusrayani nonton.

Misalkan sore ini tidak hujan dan Elzan mengajak Gusrayani nonton, Gusrayani tidak akan kecewa karena Elzan memenuhi janjinya. Akan tetapi, jika sore ini hujan dan Elzan tetap mengajak Gusrayani menonton, Gusrayani tentu merasa senang sekali. Jika sore ini hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton, tentunya Gusrayani akan memakluminya. Bagaimana jika sore ini tidak hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton? Itu akan lain lagi ceritanya. Tentu saja Gusrayani akan kecewa dan menganggap Elzan sebagai pembohong yang tidak menepati janjinya.

Misalkan, p : Sore tidak hujan.

q : Elzan mengajak Gusrayani menonton.

Pernyataan “jika sore nanti tidak hujan, maka Elzan akan mengajak Gusrayani nonton”. Dapat dinyatakan sebagai “jika p maka q” atau dilambangkan dengan “p q”. Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q” disebutimplikasi.

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q”, dilambangkan dengan p q. Pernyataan p disebut hipotesis (ada juga yang menamakan anteseden) dari implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga yang menamakan konsekuen). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah; untuk kasus lainnya adalah benar. Perhatikan tabel berikut ini.

Tabel nilai kebenaran operasi implikasi

Terdapat perbedaan antara implikasi dalam keseharian dan implikasi dalam logika matematika. Dalam keseharian, pernyataan hipotesis/anteseden p haruslah memiliki hubungan dengan pernyataan konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada contoh implikasi sebelumnya, “Jika sore nanti tidak hujan maka saya akan mengajakmu nonton”. Terdapat hubungan sebab-akibat. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh dibawah ini.

Contoh:
Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut !
a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.
b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.
c. Jika cos 30° = 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.

Jawab :
a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.
Alasan salah, kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar.
b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.
Alasan benar, kesimpulan salah. Jadi implikasi bernilai salah.
c. Jika cos 30°= 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.
Alasan salah, kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai benar.

adalah operasi penggabungan dua buah pernyataan yang menggunakan penghubung logika "jika … , maka … " yang lambangnya " → ". atau " ⇒ ".
Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis "p → q" atau "p ⇒ q" dan dibaca "jika p, maka q".

Pernyataan bersyarat p ⇒ q juga dapat dibaca " p hanya jika q " atau " p adalah syarat cukup bagi q " atau " q adalah syarat perlu bagi p ".

Pada pernyataan p ⇒ q
p disebut hipotesa, anteseden, atau sebab
q disebut konklusi/konsekuen/akibat.

Tabel nilai kebenaran Implikasi sebagai berikut:

p	q	p ⇒ q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Atau

P	q	pq
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Catatan :
Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa implikasi p ⇒ q bernilai salah (S) jika anteseden bernilai benar (B) dan konskuen bernilai salah (S), jika tidak demikian maka p ⇒ q bernilai benar(B).

Contoh 1:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut yang disusun dari
p: Hari ini matahari bersinar terang (B)
q: Hari ini angin bertiup kencang (S).

1. Jika hari ini mata hari bersinar terang maka angin bertiup kencang.
2. Jika hari ini mata hari bersinar terang maka angin tidak bertiup kencang
3. Jika hari ini mata hari tidak bersinar terang maka angin bertiup kencang
4. Jika hari ini matahari tidak bersinar terang maka angin tidak bertiup kencang.

Jawab:
1. Pernyataan bernilai salah (S).
2. Pernyataan bernilai benar (B) .
3. Pernyataan bernilai benar (B)
4. Pernyataan bernilai benar (B).

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang di sajikan dalam “jika ….. maka …… “. Notasi “p => q”,dibaca “ jika pmaka q”.

Pada implikasi p => q, p disebut anteseden (hipotesis) dan q disebut konsekuen. “ p => q” akan salah jika “B => S (p = B, q =S) selainnya benar.

Perhatikan tabel kebenaran untuk implikasi berikut.

p	Q	p=>q
B B S S	B S B S	B S B B

Perhatikan contoh berikut.
a. p :3+5=8 (benar)
q :8 adalah bilangan genap (benar)
p=>q :jika 3+5=8, maka 8 adalah bilangan genap (benar)
b. p :5>3 (benar)
q :5 adalah bilangan genap (salah)
p=>q :jika 5>3, maka 5 adalah bilangan genap (salah)

pernyataan majemuk dalam logika matematika tidak ada hubungannya dengan keterkaitan pernyataan-pernyataan yang digabungkan. Pada penerapannya dalam suatu disiplin ilmu atau kehidupan sehari-hari, konteks dan keterkaitan pernyataan-pernyataan yang digabungkan harus jelas, sehingga berbentuk kalimat yang bermakna.

Bentuk implikasi dari p(x)=>q, p=>q (x), atau p(x)=>q(x) bukan pernyataan, karena p(x) dan q(x) masih berupa kalimat terbuka. Biasanya implikasi tersebut dapat ditentukan nilai kebenarannya jika kita mengganti variable x dengan konstanta dalam semesta pembicaraan.

Tautologi dan kontradiksi
Pernyataan majemuk yang selalu benar bagaimanapun kemungkinan nilai kebenaran dari komponen-komponen disebut Tautologi, sedangkan Kontradiksi yaitu pernyataan mjemuk yang selalu salah bagaimanapun kemungkinan nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Contoh: Selidiki dengan tabel kebenaran adalah bentuk pernyataan majemuk

~(p v q) ˄ p merupakan tautology, kontradiksi, bukan suatu tautology, atau bukan suatu kontradiksi!

Jawab: Jika kita buat tabel kebenaran untuk ~(p v q) ˄ p, maka hasilnya akan seperti ini:

p	Q	p v q	~(p v q)	~(p v q) ˄ p
B B S S	B S B S	B B B S	S S S B	S S S S

Biimplikasi (bikondisional)

Perhatikanlah pernyataan berikut:

Jika sore ini hujan, maka jalan raya basah.

Jika jalan raya basah, apakah selalu disebabkan oleh hujan? Tentu saja tidak selalu begitu, karena jalan raya basah bisa saja disebabkan disiram, banjir, ataupun hal lainnya. Pernyataan seperti ini telah kita ketahui sebagai sebuah implikasi.

Sekarang, perhatikan pernyataan berikut:

Jika orang masih hidup maka dia masih bernafas.

Jika seseorang masih bernafas, apakah bisa dipastikan orang tersebut masih hidup? Ya, karena jika dia sudah tidak bernafas, pasti orang tersebut sudah meninggal. Pernyataan yang demikian disebut biimplikasi atau bikondisionalatau bersyarat ganda.

Pernyataan biimplikasi dilambangkan dengan “”  yang berarti “jika dan hanya jika” disingkat “jhj” atau “jikka”. Biimplikasi “pq” ekuivalen  dengan “jika p maka q dan jika q maka p”, dinotasikan sebagai:
(p q) (q p).

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu biimplikasi adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk p jika dan hanya jika q dilambangkan dengan p q. Biimplikasi p dan q bernilai benar jika keduanya p dan q adalah benar atau jika keduannya p dan q adalah salah; untuk kasus lainnya biimplikasi adalah salah.

Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi:

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran biimplikasi di bawah ini!

a. 20 + 7 = 27  jika dan hanya jika 27 bukan bilangan prima.

B                                                               B

(p) = B,   (q) = B. Jadi,  (p  q) = B.

b. 2 + 5 = 7  jika dan hanya jika 7 adalah bilangan genap.

(p) = B,   (q) = S. Jadi,  (p  q) = S.

c. tan² 45° + cos ² 45° = 2  jika dan hanya jika  tan² 45° = 2

(p) = S,   (q) = S. Jadi,  (p  q) = B.

adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung logika " … jika dan hanya jika … " dan diberi lambang " ⇔ " atau " ↔ ".
Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis " p ⇔ q " atau

"p ↔ q" dibaca "p jika dan hanya jika q " dan sering juga dibaca " p equivalen q " dimana p adalah syarat perlu dan cukup bagi q.

Tabel nilai kebenaran biimplikasi sebagai berikut :

p	q	p ⇔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Atau

p	q	pq
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Dari tabel di atas dapat disebutkan bahwa p ⇔ q bernilai benar jika kedua komponen penyusunnya memiliki nilai kebenaran yang sama (benar semua atau salah semua).

Contoh:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang disusun berdasarkan pernyataan:
p: 2 bilangan prima
q: 2 + 6 = 12

1. 2 bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 = 12
2. 2 bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 tidak sama dengan 12
3. 2 bukan bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 = 12
4. 2 bukan bilangan prime jika dan hanya jika 2 + 6 tidak sama dengan 12

Penyelesaian:

• 5. Tulis p: 2 bilangan prima
• q: 2 + 6 = 12.
• Jelas nilai kebenaran p adalah B dan nilai kebenaran q adalah S.
• Jadi nilai kebenaran p q adalah salah (S).
• 6. Kalimat bernilai benar (B)
• 7. Kalimat bernilai salah (S)
• 8. Kalimat bernilai benar (B)

Jika dua pernyataan p dan q digabungkan untuk membentuk kalimat majemuk dengan kata hubung “ ….. jika dan hanya jika …...”, maka pernyataan majemuk yang terbentuk disebut biimplikasi.
Dalam logika matematika, biimplikasi dilambangkan oleh “”.”pq” berarti “p jika dan hanya jika q”, yaitu “jika pmaka q dan jika q maka p” atau “(p=>q) ˄ (q=>p)”. jadi, p  q ≡ (p=>q) ˄ (q=>p).
Nilai biimplikasi biasa diturunkan sebagai berikut:

p	Q	p=>q	q=>p	(p=>q) ˄ (q=>p) ≡ pq
B B S S	B S B S	B S B B	B B S B	B S S B

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa biimplikasi hanya bernilai benar jika komponen-komponennya mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh: “Ayah mendapat gaji jika dan hanya jika ayah bekerja”.

Pernyataan biimplikasi diatas dibaca sebagai berikut:”Jika Ayah mendapat gaji maka ayah bekerja dan jika ayah telah bekerja maka ayah mendapat gaji”.

Ekuivalensi logis

Misalkan p dan q merupakan penyataan-pernyataan tunggal atau majemuk dan pernyataan implikasi pqmerupakan tautologi untuk semua nilai kemungkinan kebenaran p dan q, maka pq dinamakan ekuivalensi logis ataubiimplikasi logis.
Begitu juga pada biimplikasi berbentuk p(x)q(x). Jika p(x) menyebabkan q(x) dan q(x) menyebabkan p(x), maka biimplikasi p(x)q(x) merupakan ekuivalensi logis atau biimplikasi logis.

Contoh: Selidikilah apakah bentuk pernyataan majemuk (p v (p ˄ q))  p akan merupakan ekuivalensi logis atau bukan.

p	q	p ˄ q	p v (p˄q)	(pv(p˄q))p
B B S S	B S B S	B S S S	B B S S	B B B B

Jadi pernyataan majemuk tersebut merupakan ekuivalen.

Negasi dari Implikasi
Untuk menentukan negasi dari implikasi, perhatikan contoh berikut.
P : niko belajar dengan giat.
q : niko naik kelas.
p=>q : jika niko belajar dengan giat maka niko naik kelas.
Jadi nagasi pernyataan “p=>q” adalah “p ˄ ~q”

Konvers , Invers, dan Kontra posisi
Dari suatu implikasi p=>q dapat dibentuk implikasi lain, yaitu:

1. q=>p, yang disebut konvers dari p=>q.
2. ~p=>~q, yang disebut invers dari p=>q.
3. ~q=>~p, yang disebut kontraposisi dari p=>q.

Tabel kebeneran hubungan antara implikasi-implikasi tersebut adalah:

P	q	~P	~q	P=>q	q=>p	~p=>~q	~q=>~p
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B S B B	B B S B	B B S B	B S B B

Penarikan kesimpukan

Prinsip modus ponens
Prinsip modus ponens mengatakan “jika p terjadi maka q terjadi”, dan ternyata p terjadi. Menurut asumsi kita, disimpulkan q terjadi”.
Sahnya prinsip modus ponens dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran pernyataan majemuk “((p=>q) ˄ p)=> q”.

Prinsip modus Tolens
Prinsip modus ponens mengatakan “bahwa jka p terjadi maka q terjadi dan ternyata q tidak terjadi, maka kita simpulkan bahwa p tidak terjadi”.
Prinsip modus tolens yang sah dapat di peroleh dengan melihat tabel kebenaran bagi pernyataan majemuk ((p=>q) ˄ ~ q) => p.

Prinsip silogisme
Prinsip silogisme pada dasarnya mengatakan “jika p terjadi maka q terjadi, dan jika q terjadi maka r terjadi, sehingga disimpulkan jika p terjadi maka r juga terjadi”.
Prinsip silogisme diverifikasi dengan melihat tabel kebenaran bagi pernyataan majemuk ((p=>q) ˄ (q=>r)) => (p=>r).

    "SALAM HANGAT"